Если желаешь работать с мыслью, то запиши её.
Представленное ниже исследование, посвящено рассмотрению соотношения классов сложности NP и co - NP, с точки зрения элементарной теории моделей. Известное понятие модельной полноты, рассматриваемой теориии и её критерии, переносятся и по новому формулируются с целью описать соотношения классов сложности NP и co - NP в подходящей терии, которыми являются теории обозначаемые как Th, Th(U), Th(A). Отмечу в этой связи, что во всех моделях модельно полной теории, иерархия свойств в каждой такой модели, обрывается на первом уровне, это явилось причиной пристального изучения этого фундаментального понятия элементарной теории моделей, и соответствующей переформулировки этого понятия с целью описать соотношение классов сложности NP и co-NP. Для исследования соотношения между классами NP(A) и co - NP(A), формализуется понятие оракульного вычисления, для чего формулируется понятие функционального слова - конечный фрагмент рассматриваемого оракула, описание алгоритма для построения функционального слова, который обозначается как ΘΦ и таким образом, появляется возможность доказать теорему о неподвижной точке, в соответствующей формулировке(Следствие 5.2 пункт 4, теорема 5.4 и теорема 5.5), распространить "Use Principle" на модели изучаемой теории и связать соотношение классов сложности NP(A) и co - NP(A) с соотношением классов сложности NP и co - NP. Доказано весьма важное утверждение(теорема 6.9), если верно соотношение NP = co - NP, тогда для любого оракула верно соотношение NP(A) = co - NP(A), с применением "Use Principle". Из этого утверждения очевидно следует, что класс сложности NP не является булевой алгеброй. Из доказательства теоремы 6.9 можно понять почему эффект релятивизации является препятствием для отделения одного класса сложности вычислений от другого или получения высоких нижних оценок, традиционными методами, т.е. методами дискретной математики. В слабых моделях, средства доказательства не позволяют доказать, например утверждение P не равно NP, а в сильных моделях средства доказательства подвержены релятивизации. В представленном исследовании отмеченные трудности успешно преодолены. Исследование является оригинальным и ранее, даже фрагменты базисных идей и определений, в том числе "Use Principle", а также теорема о неподвижной точке, для моделей рассматриваемой теории, в этом исследовании, ни в каком, известном мне исследовании, не рассматривалось.
The study presented below examines the relationship between the NP and co-NP complexity classes from the perspective of elementary model theory. The well-known concept of model completeness and its criteria are transferred and reformulated to describe the relationship between the NP and co-NP complexity classes in a suitable theory, which are theories designated as Th, Th(U), and Th(A). It should be noted in this regard that in all models of a model-complete theory, the hierarchy of properties in each such model breaks off at the first level. This prompted a close study of this fundamental concept of elementary model theory and a corresponding reformulation of this concept to describe the relationship between the NP and co-NP complexity classes. To study the relationship between the classes NP(A) and co - NP(A), the concept of oracle computation is formalized, for which the concept of a function word is formulated - the final fragment of the oracle under consideration, a description of the algorithm for constructing a function word, which is denoted as ΘΦ. Thus, it becomes possible to prove the fixed point theorem, in the appropriate formulation (Corollary 5.2, paragraph 4, Theorem 5.4, and Theorem 5.5), extend the "Use Principle" to models of the theory under study and link the relationship between the complexity classes NP(A) and co - NP(A) with the relationship between the complexity classes NP and co - NP. A very important statement (Theorem 6.9) has been proven: if the relation NP = co - NP holds, then for any oracle NP(A) = co - NP(A), using the "Use Principle." This statement clearly implies that the complexity class NP is not a Boolean algebra. From the proof of Theorem 6.9, one can understand why the relativization effect is an obstacle to separating one computational complexity class from another or obtaining high lower bounds, using traditional methods, i.e., methods of discrete mathematics. In weak models, proof tools do not allow one to prove, for example, the statement P is not equal to NP, while in strong models, proof tools are subject to relativization. In the presented study, these difficulties were successfully overcome. The research is original, and even fragments of the basic ideas and definitions, including the "Use Principle", as well as the fixed point theorem, for models of the theory under consideration, have not been considered in this study, nor in any study known to me.
Исследование нуждается в его верификации, поэтому опубликовано в таком виде. Это исследование также размещено на моём Telegram - канале t.me/LogicProof2025. Замечания и обсуждения прошу направлять по почте е-mail: logic-proof@outlook.com; е-mail: logicproof2001@gmail.com; e-mail: logicproof@logic-proof.com